四色定理 简体 江铭辉 五梦网
一、国王遗嘱
从前有一个国王，在他临死时，留给他的五个儿子一份遗嘱。上面写着:
亲爱的儿子们:
如果你们希望各自立国的话，可把我的国土分成五份，每人治理一个小国。但有一个条件，每一个小国都必须与其他四国有共同国境。否则，不准分开。
王子们又惊又喜，都称赞父王想得真周到。于是马上遵照父王的遗嘱，开始瓜分国土了。可是，王子们绞尽了脑汁，也不能按遗嘱上规定的条件划分国家。他们只好请来一位智多星的大臣，帮助他们划分。这个大臣接受任务后，左分右分，总有两个国家不能有共同的国界。
正在王子们垂头丧气的时候，另一位大臣送来了一个老国王生前的交代的锦囊，说：「在王子遇到困难的时候，交给王子。」王子们接过锦囊，立即打开，上面写着:「亲爱的儿子们，我的遗嘱是一道永远也解不开的难题，这是为了使你们亲密团结永不分开而留下的。」
王子们看了父王的指示，只好打消了瓜分国土的念头。兄弟们和睦共处，把国家治理得很好，这样过了很久，这个古老的传说逐渐被人遗忘了。
图1：国王的遗嘱是想把领土分成五个小国，每一小国必须与其他四国有共同国境
二、旧事重提
1852年，刚从伦敦大学毕业的古斯尼(F．GuthHe)给他的哥哥费雷奥克写了一封信，如下:
费雷奥克敬启:
我发现这样一个事实，在一幅正规地图中，凡是有共同边界的国家，都可以最多只用四种颜色着色，就能把这些国家区别开来，如下图:
图： 如何用颜色将捷克、俄国、奥地利、匈牙利、罗马尼亚．南斯拉夫等国家分开
你能不能找到一个方法，从数学上来证明这个结论呢?
古斯尼 敬上
费雷奥克读了这封后，就企图用数学的方法来加以证明。但是，仍旧毫无头绪，他只好去请教他的老师--著名的英国数学家摩根(Morganl806 -1871)。摩根接到这个问题后，也立即进行了研究。他很快证明了这样一个结论。
不可能有五个国家处于这样的位置，其中每个国家都和其余四个国家相邻。于是，摩根依据这个结论，进一步推出:任何地图只要四种颜色就够了。并尝试去证明它，但是摩根研究很久也不能证明这个问题，于是在1852年10月23日写一封信给爱尔兰著名的数学家哈密尔顿(Hamilton；I805~1865)。从此，这个问题就这样传来传去，直到1865年哈密尔顿逝世时为止，这个问题还没有得到解决。于是，这个问题便以"四色猜想"的名字留传在近代数学史上。
三、四色猜想的证明造成风潮
1878年，著名的英国数学家凯莱(Athur Cayley；1821-1895)把"四色猜想"通报给伦敦的数学学会会员，征求解答。数学界一时对"四色猜想"的研究活跃起来了，很多数学名流企图试一试自己的能力。1879年肯泊(Kempe)首先宣布证明了四色定理，接着在1880年泰特也宣布证明了四色定理。但在1890年，也就是肯泊宣布证明了四色定理11年后，海伍德( HeaWood)发表文章，指出了肯泊证明中的错误。不过，海伍德却成功地应用了肯泊的方法，证明了五色定理。也就是说，每一幅地图可以至多用五种颜色正确地染色。
五色定理被证明了，但四色定理却又回到未被证明的四色猜想的地位了。这不仅由于海伍德推翻了肯泊的证明，而且，离开泰特发表论文66年后的1946年，加拿大数学家托特又举出反例，否定了泰特的证明。
四、计算器使四色猜想变成四色定理
肯泊的证明，虽然在11年后被推翻了，但是，人们认为他的证明思路有很多可取的地方。因此，后来的数学家，有不少人一直在继续沿着他的思路，尝试着四色问题的证明，并且有了新的进展。然而，这些成就所提供的检验办法太复杂了，人们难以实现。就拿1970年有些人所提的证明来说，用当时的计算器来算，也需要连续不断地工作十万小时(即11年以上)，才能得出结论，这显然是不可能的。1970年后，人们又千方百计地改进了证明四色猜想的证明，和计算器的计算能力及其使用方法，1976年6月，美国数学家阿倍尔(APPEL)与哈肯(HAKEN )，在美国伊利诺大学的三台不同的电子计算器上，用了1200小时，终于完成了「四色猜想」的证明，从而使「四色猜想」变成了「四色定理」。
五、四色定理发展的小插曲
「四色定理」本身没有什么突出的理论价值和实用价值。因此，美国数学家的贡献，主要是用电子计算器解决了延续124年之久的数学问题。然而在四色定理证明史，由于人们的前朴后继不断研究，却也发生了一个脍炙人口的小插曲。
那就是「四色猜想」传到素以谦虚著称的数论专家“明可夫斯基”手里。由于“明可夫斯基”低估了它的难度，在一次给学生上课时，忽然想到「四色猜想」，他说:「四色猜想之所以一直"四色定理"本身没有什么突出的理论价值和实用价值。因此，美国数学家的真献，主要是用电子计算器解决了延续一百二十四年之久的纯理论问题。然而在四色定理证明史，由于人们的前朴后继不断研究，却也发生了一个脍炙人口的小插曲。那就是:"四色猜想"传到素以谦虚著称的数论专家明可夫斯基手里。由于明可夫斯基低估了它的难度，在一次给学生上课时，忽然想到"四色猜想"，他说:"四色猜想"之所以一直没有获得证明，不是它本身的难度，而是由于缺少一流数学家来解决它。"说完，他拿起粉笔竟要当堂证明。可是他证得满头大汗，却是一筹莫展。下一节他又去证，仍然无法证出，如此一连几个星期，费尽九牛二虎之力，仍无进展。有一天，他刚跨进教室，霹雳一声，震耳欲聋，对学生说:"苍天在责备我自大，穷一辈千精力我也没法子证明"四色猜想"!没有获得证明，不是它本身的难度，而是由于缺少一流数学家来解决它。」说完，他拿起粉笔竟要当堂证明。可是他证得满头大汗，却是一筹莫展。下一节他又去证，仍然无法证出，如此一连几个星期，费尽九牛二虎之力，仍无进展。有一天，他刚跨进教室，霹雳一声，震耳欲聋，对学生说:「苍天在责备我自大，穷一辈子精力我也没法子证明"四色猜想"!」