四色定理 江銘輝 五夢網
一 、國王遺囑
從前有一個國王，在他臨死時，留給他的五個兒子一份遺囑。上面寫著:
親愛的兒子們:
如果你們希望各自立國的話，可把我的國土分成五份，每人治理一個小國。但有一個條件，每一個小國都必須與其他四國有共同國境。否則，不准分開。
王子們又驚又喜，都稱讚父王想得真周到。於是馬上遵照父王的遺囑，開始瓜分國土了。可是，王子們絞盡了腦汁，也不能按遺囑上規定的條件劃分國家。他們只好請來一位智多星的大臣，幫助他們劃分。這個大臣接受任務後，左分右分，總有兩個國家不能有共同的國界。
正在王子們垂頭喪氣的時候，另一位大臣送來了一個老國王生前的交代的錦囊，說：「在王子遇到困難的時候，交給王子。」王子們接過錦囊，立即打開，上面寫著:「親愛的兒子們，我的遺囑是一道永遠也解不開的難題，這是為了使你們親密團結永不分開而留下的。」
王子們看了父王的指示，只好打消了瓜分國土的念頭。兄弟們和睦共處，把國家治理得很好，這樣過了很久，這個古老的傳說逐漸被人遺忘了。
圖1：國王的遺囑是想把領土分成五個小國，每一小國必須與其他四國有共同國境
二 、舊事重提
1852年，剛從倫敦大學畢業的古斯尼(F．GuthHe)給他的哥哥費雷奧克寫了一封信，如下:
費雷奧克敬啟:
我發現這樣一個事實，在一幅正規地圖中，凡是有共同邊界的國家，都可以最多只用四種顏色著色，就能把這些國家區別開來，如下圖:
圖： 如何用顏色將捷克、俄國、奧地利、匈牙利、羅馬尼亞．南斯拉夫等國家分開
你能不能找到一個方法，從數學上來證明這個結論呢?
古斯尼 敬上
費雷奧克讀了這封後，就企圖用數學的方法來加以證明。但是，仍舊毫無頭緒，他只好去請教他的老師--著名的英國數學家摩根(Morganl806 -1871)。摩根接到這個問題後，也立即進行了研究。他很快證明了這樣一個結論。
不可能有五個國家處於這樣的位置，其中每個國家都和其餘四個國家相鄰。於是，摩根依據這個結論，進一步推出:任何地圖只要四種顏色就夠了。並嘗試去證明它，但是摩根研究很久也不能證明這個問題，於是在1852年10月23日寫一封信給愛爾蘭著名的數學家漢米爾頓(Hamilton；I805~1865)。從此，這個問題就這樣傳來傳去，直到1865年漢米爾頓逝世時為止，這個問題還沒有得到解決。於是，這個問題便以"四色猜想"的名字留傳在近代數學史上。
三 、四色猜想的證明造成風潮
1878年，著名的英國數學家凱萊(Athur Cayley；1821-1895)把"四色猜想"通報給倫敦的數學學會會員，徵求解答。數學界一時對"四色猜想"的研究活躍起來了，很多數學名流企圖試一試自己的能力。1879年肯泊(Kempe)首先宣佈證明了四色定理，接著在1880年泰特也宣佈證明了四色定理。但在1890年，也就是肯泊宣佈證明了四色定理11年後，海伍德( HeaWood)發表文章，指出了肯泊證明中的錯誤。不過，海伍德卻成功地應用了肯泊的方法，證明了五色定理。也就是說，每一幅地圖可以至多用五種顏色正確地染色。
五色定理被證明了，但四色定理卻又回到未被證明的四色猜想的地位了。這不僅由於海伍德推翻了肯泊的證明，而且，離開泰特發表論文66年後的1946年，加拿大數學家托特又舉出反例，否定了泰特的證明。
四 、計算機使四色猜想變成四色定理
肯泊的證明，雖然在11年後被推翻了，但是，人們認為他的證明思路有很多可取的地方。因此，後來的數學家，有不少人一直在繼續沿著他的思路，嘗試著四色問題的證明，並且有了新的進展。然而，這些成就所提供的檢驗辦法太複雜了，人們難以實現。就拿1970年有些人所提的證明來說，用當時的計算機來算，也需要連續不斷地工作十萬小時(即11年以上)，才能得出結論，這顯然是不可能的。1970年後，人們又千方百計地改進了證明四色猜想的證明，和計算機的計算能力及其使用方法，1976年6月，美國數學家阿倍爾(APPEL)與哈肯(HAKEN )，在美國伊利諾大學的三台不同的電子計算機上，用了1200小時，終於完成了「四色猜想」的證明，從而使「四色猜想」變成了「四色定理」。
五 、四色定理發展的小插曲
「四色定理」本身沒有什麼突出的理論價值和實用價值。因此，美國數學家的貢獻，主要是用電子計算機解決了延續124年之久的數學問題。然而在四色定理證明史，由於人們的前朴後繼不斷研究，卻也發生了一個膾炙人口的小插曲。
那就是「四色猜想」傳到素以謙虛著稱的數論專家“明可夫斯基”手裡。由於“明可夫斯基”低估了它的難度，在一次給學生上課時，忽然想到「四色猜想」，他說:「四色猜想之所以一直"四色定理"本身沒有什麼突出的理論價值和實用價值。因此，美國數學家的真獻，主要是用電子計算機解決了延續一百二十四年之久的純理論問題。然而在四色定理證明史，由於人們的前朴後繼不斷研究，卻也發生了一個膾炙人口的小插曲。那就是:"四色猜想"傳到素以謙虛著稱的數論專家明可夫斯基手裡。由於明可夫斯基低估了它的難度，在一次給學生上課時，忽然想到"四色猜想"，他說:"四色猜想"之所以一直沒有獲得證明，不是它本身的難度，而是由於缺少一流數學家來解決它。"說完，他拿起粉筆竟要當堂證明。可是他證得滿頭大汗，卻是一籌莫展。下一節他又去證，仍然無法證出，如此一連幾個星期，費盡九牛二虎之力，仍無進展。有一天，他剛跨進教室，霹靂一聲，震耳欲聾，對學生說:"蒼天在責備我自大，窮一輩千精力我也沒法子證明"四色猜想"!沒有獲得證明，不是它本身的難度，而是由於缺少一流數學家來解決它。」說完，他拿起粉筆竟要當堂證明。可是他證得滿頭大汗，卻是一籌莫展。下一節他又去證，仍然無法證出，如此一連幾個星期，費盡九牛二虎之力，仍無進展。有一天，他剛跨進教室，霹靂一聲，震耳欲聾，對學生說:「蒼天在責備我自大，窮一輩子精力我也沒法子證明"四色猜想"!」