所有三角形皆為等腰三角形？！江銘輝 五夢網
問題:有一位朋友說要證明所有三角形都是等腰三角形，而做了下面證明：
圖:所有三角形都是等腰三角形嗎:
如圖設ΔABC為任意三角形，∠BAC的平分線與邊BC的垂直平分線的交點為D，並設自D至邊AB的垂線之垂足為E，自D至AC的垂線的垂足為F。
於ΔAED及ΔAFD，
∠EAD=∠FAD
∠AED=∠AFD (=90。)
AD=AD
因為 ΔAED= ΔAFD
所以 DE=DF，AE=AF
又，於ΔEDB及ΔFDC中
DE=DF
DB=DC
∠BED=∠CFD (=90。)
因為 ΔBED= ΔFCD，BE= CF
所以 AE+BE= AF+CF
亦即AB= AC
故ΔABC為等腰三角形……。請問那一個部分錯誤？
所有三角形皆為等腰三角形？！之解答
圖 解幾何問題時，圖必須畫正確!
你的朋友所畫的圖，是∠BAC的平分線與BC的垂直平分線在ΔABC
的內部相交，其實這是錯誤的，若正確的畫圖就知道，∠BAC的平分線
與邊BC的垂直平分線是在ΔABC的外部相交。更正確的說，是在ΔABC
的外接圓的弧BC的中點D相交。
若一面看這正確的圖，一面讀你朋友的證明，則
ΔAED=ΔAFD 所以 DE=DF，AE=AF是正確的。
又，ΔEBD=ΔFCD 所以 BE=CF，
也是正確的。
但是，從AE=AF及BE=CF並不能導出AB=AC。
考慮幾何問題時，應該把圖畫正確，否則會發生錯誤的結論。