一笔画与科尼斯堡问题
何谓「一笔画」
所谓「一笔画」是指笔一旦碰了纸即不能离开纸，一直到画完才能离开，且同一个地方不能重复经过的画法，首先我们分析能用一笔画完成图形的特征，如下：
一、奇点:
在一笔画中，作为始点或终点的如图（1）之P点及Q点，它可产 生奇数的条线
1. 起始点:
一笔画中的开始点，如p点〈图1〉。
在开始昼时，从此P点出发，只会出现1条线。而在一笔画的途中每 当通过此点时，以此点来看，每通过一次增加2条线。由于此点不是终点，故在点P会出现奇数条线〈图2、3〉。此种点叫做「奇点」。
图2：单线与三线
图3：五线
2．终点:
在一笔画的结束点如Q点〈图1〉。
在一笔画的途中每当通过此点时，以此点来看，每通过一次增加2条线。当此点作为结束的终点时，最后只有进入一条线。因此，从此点出来的 线有奇数点〈图2、3〉。即是此种点为奇点。
二、偶点:
在一笔画中，同时为起点及终点的点或中途的点，它可产生偶数条线（图4）。
1．在一笔画中可作为起点而同时为终点的点如R。
在开始时，从此种点会出来1条线。莓当通过此点时，从此点出来的线 每次增加2条。而最后到此点结束时，从此点出来的线增加1条。因此，从此种点出来的线有偶数条。此种点叫做「偶点」。
图4：R及S点皆为偶点
2．在一笔画中可作为中途的点S。
每当通过此种点时，从此点出来的线逐次增加2条。因此，从此种点出来的线有偶数条。即是，此种点为偶数。
三、一笔画的判断原则
根据以上所述，即得下列结论:
1. 若在一笔画的图案有二点奇点存在，则它是一个当起始点，一个当终点。
2. 没有奇点，也可画成一笔画，而且随便什么地方开始都行。
3. 若在一笔画的图案超过2个奇点，则无法一笔画成。
例1，在把如下面的图5用一笔画出来的问题，C及D为奇点，而
A，B，E，F都是偶点。
因此，此图必须设法使从C开始昼而在D结束，或从D开始画而
在C结束，否则不能一笔画。
图5：能否一笔画？
例2：若在一笔画的图案有3个奇点以上时，则无法把此问题一笔画出
来。
例如在如下面的图6，A，B，C，D都是奇点，只有E是偶点。因
此，此图含有4个奇点，因此是无法一笔画的图。
图6：不可能一笔画。
四、科尼斯堡问题
十八世纪初在普鲁士科尼斯堡镇（如图7）流传一个问题。这问题是城内一条叫布瑞格河的两支流绕过一个岛，有七座桥横跨这两支流。问一个散步者能否走过每一座桥，而每座桥却只走过一次。
图7: 科尼斯堡地形图
欧拉在1736年圆满地解决了这一问题。他把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点，把问题解决了。
五、科尼斯堡问题的解决
对于瑞士数学家欧拉所发现的科尼斯堡问题的解决方案，可用上述一笔画的原则解决，方法如下。
1. 将图7布瑞格河通过科市如抽象化，绘图如图8所示。
图8: 简化的科市图
因此只要证明题目所画图形是一笔画图形或不是一笔画图形，散步者能否走过每一座桥，而每座桥却只走过一次，就可迎刃而解。
结论
从图8中，我们算出A、B、C、D四点皆是奇点，根據超过二奇点無法作成一笔画的原则，因此图10不是一笔画，也就是说散步者无法走过每一座桥，而每座桥只走过一次。
五、其它一笔画的例子
请回答下列图形，何者是一笔画图形，何者不是？
解答：1、4、6、8、9、10没有奇点，可画成一笔画，而且随便什么地方开始都行。2、3、5有二点奇点存在，一个当起始点，一个当终点。7有超过2个奇点，故无法一笔画成。