一筆畫與科尼斯堡問題
何謂「一筆畫」
所謂「一筆畫」是指筆一旦碰了紙即不能離開紙，一直到畫完才能離開，且同一個地方不能重複經過的畫法，首先我們分析能用一筆畫完成圖形的特徵，如下：
一、奇點:
在一筆畫中，作為始點或終點的如圖（1）之P點及Q點，它可產 生奇數的條線
1. 起始點:
一筆畫中的開始點，如p點〈圖1〉。
在開始晝時，從此P點出發，只會出現1條線。而在一筆畫的途中每 當通過此點時，以此點來看，每通過一次增加2條線。由於此點不是終點，故在點P會出現奇數條線〈圖2、3〉。此種點叫做「奇點」。
圖2：單線與三線
圖3：五線
2．終點:
在一筆畫的結束點如Q點〈圖1〉。
在一筆畫的途中每當通過此點時，以此點來看，每通過一次增加2條線。當此點作為結束的終點時，最後只有進入一條線。因此，從此點出來的 線有奇數點〈圖2、3〉。即是此種點為奇點。
二、偶點:
在一筆畫中，同時為起點及終點的點或中途的點，它可產生偶數條線（圖4）。
1．在一筆畫中可作為起點而同時為終點的點如R。
在開始時，從此種點會出來1條線。莓當通過此點時，從此點出來的線 每次增加2條。而最後到此點結束時，從此點出來的線增加1條。因此，從此種點出來的線有偶數條。此種點叫做「偶點」。
圖4：R及S點皆為偶點
2．在一筆畫中可作為中途的點S。
每當通過此種點時，從此點出來的線逐次增加2條。因此，從此種點出來的線有偶數條。即是，此種點為偶數。
三、一筆畫的判斷原則
根據以上所述，即得下列結論:
1. 若在一筆畫的圖案有二點奇點存在，則它是一個當起始點，一個當終點。
2. 沒有奇點，也可畫成一筆畫，而且隨便什麼地方開始都行。
3. 若在一筆畫的圖案超過2個奇點，則無法一筆畫成。
例1，在把如下面的圖5用一筆畫出來的問題，C及D為奇點，而
A，B，E，F都是偶點。
因此，此圖必須設法使從C開始晝而在D結束，或從D開始畫而
在C結束，否則不能一筆畫。
圖5：能否一筆畫？
例2：若在一筆畫的圖案有3個奇點以上時，則無法把此問題一筆畫出
來。
例如在如下面的圖6，A，B，C，D都是奇點，只有E是偶點。因
此，此圖含有4個奇點，因此是無法一筆畫的圖。
圖6：不可能一筆畫。
四、科尼斯堡問題
十八世紀初在普魯士科尼斯堡鎮（如圖7）流傳一個問題。這問題是城內一條叫布瑞格河的兩支流繞過一個島，有七座橋橫跨這兩支流。問一個散步者能否走過每一座橋，而每座橋卻只走過一次。
圖7 科尼斯堡地形圖
歐拉在1736年圓滿地解決了這一問題。他把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區視為點，把問題解決了。
五、科尼斯堡問題的解決
對於瑞士數學家歐拉所發現的科尼斯堡問題的解決方案，可用上述一筆畫的原則解決，方法如下。
1. 將圖7布瑞格河通過科市抽象化，繪圖如圖8所示。
圖8 簡化的科市圖
因此只要證明題目所畫圖形是一筆畫圖形或不是一筆畫圖形，散步者能否走過每一座橋，而每座橋卻只走過一次，就可迎刃而解。
結論
從圖8中，我們算出A、B、C、D四點皆是奇點，照定理所示一筆畫最多只能有二奇點的原則，因此它不是一筆畫，也就是說散步者無法走過每一座橋，而每座橋只走過一次。
五、其它一筆畫的例子
請回答下列圖形，何者是一筆畫圖形，何者不是？
解答：1、4、6、8、9、10沒有奇點，可畫成一筆畫，而且隨便什麼地方開始都行。2、3、5有二點奇點存在，一個當起始點，一個當終點。7有超過2個奇點，故無法一筆畫成。