方阵漫谈 江铭辉 五梦网
1. 中国纵横图与河图及洛书的起因
河图（图1）与洛书（图2）最先出自〈周易〉的“河出图，洛出书，圣人则之”这句话，但〈周易〉并没有进一步说明什么是河图？什么是洛书？后人加以解释为：河图是一匹从黄河跃出的龙马，背上披着一幅图；洛书是一只从洛水浮出的神龟，背上刻有九宫的“中国纵横图”。
何谓九宫？原来中国古时候，将“洞”称为“宫”，九宫就是刻有九个空格的图画，这是河图和洛书的起因。但是河图和洛
书到底在表示什么呢？这方面洛书是较容易了解的，因为它是开门见山的一个纵横图，不论直行、横列或对角线，图中三个数加起来的和都是15。至于河图所表达的数字含意，就比较难一眼望出。其实中国古时候的人早就称它为“天地生成数”，也就是古希腊毕达哥拉斯学派所谓的万物皆为数的理念。在图1的右图中，有四个圆圈，其中第一圈（最内圈）中央部分为5；第二圈有二个5；第三圈为1, 2, 3, 4；第四圈的6,7, 8, 9，它分别为第一圈的5与第三圈的1, 2, 3, 4相加而成。有了1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9再加上第二圈的10（二个5相加），于是构成万物的数字便产生了，因此称为天地生成数。
2.河图及洛书帮助大禹治理天下
图3.：程大位(Cheng Dawei，中国人，公元1533～1606年)
中国明朝数学家，1592年完成〈算法统宗〉是当时最完备的应用算术书，出版不久就压倒同类书籍，广为流传。
中国明朝大数学家程大位（Cheng Dawei，公元1533～1606年）（图3），在他的大着〈算法统宗〉说：「河图与洛书是大禹在治水时，上天派龙马和神龟背河图和洛书来帮忙。大禹在得到河图与洛书之后才筹划九种治理天下的大法。」估且不论河图与洛书是不是大禹所创，以大禹的13年治理黄河水乱，古人认为其数学常识必超人一等，因此将河图与洛书创作的传说加附其身上是必然之事。
3.中国纵横图的演变
中国纵横图这个名词，最先由杨辉创出。在数学上，把中国纵横图这类的图案叫做“幻方”或“方阵”（magic square），洛书中有3行3列，所以叫3阶方阵，这是世界上最古老的一种方阵。方阵的严格定义是：在一个n ×n的方形格子上，每个格子填有从1到n2的不同数字，不论是横的，直的或是斜的，它们的总数都是一样。如果n是3，那就称三方阵；n是4则是四方阵，若n是5则是五方阵……。方阵的横列、直行或斜线的总数，三方阵为15，四方阵是34，五方阵是65，六方阵是111。这些总数可用公式求得，若n方阵，其全部数字的总和就是1＋2＋3＋……＋n2=n2(n2+1)/2，因此每一列（行或斜线）的和便是n(n2+1)/2。除了传统的方阵形式外，在全世界数学家的把玩之下，方阵也产生了许多有趣的变形。在中国历史上，最先把幻方当作数学问题来研究的人，就是宋朝（Song Dynasty）的著名数学家杨辉（Yang Hwei，中国人，约公元1250年），他曾经比法国著名的数学家帕斯卡尔（B.Pascal，法国人，公元1623～1662年）更早提出帕斯卡尔三角形（图4）。
杨辉他深入探索各类方阵的奥秘，得到许多制造方阵的简单方法，记载在于1275年出版的〈续古摘奇算法〉书中，他并且还动手改变方阵的型式，图5就是他发明的“攒九图”，他使用1～33的整数构造成这个图型，图中每个大圆圈上的数目加起来都是138，每条直径上的数字加其来也是138。在所有千奇百怪的变型方阵中，最有趣的应该是数1958年英国人维克斯(T. Vickers)所制的“六角方阵”（图6），这奇妙的六角方阵得到无数方阵专家高度的赞赏，美国科普作家马丁‧加德纳(Martin Gardner，美国人，公元1914～)甚至认为是稀世之宝。
4.方阵的昨日、今日与未来的走向
(1)早期：神秘的象征
a. 方阵在中国发明之后，传到印度，再由卖卜人将方阵观念传到阿拉伯及欧洲，又经过演变成为一种魔力的象征。在东方例如西藏的生命之轮的图像，图的中央是一个三阶方阵，外面围着十二宫图的符咒，印度至今仍用方阵避邪，他们在使用的杯子或护身符上刻方阵，日本也有用方阵治病驱魔的例子，「算法阙疑钞」一书开头便记载用方阵治疗疟疾的方法，三方阵经计算后，在数字为6的地方札针，中国亦有将三方阵的九个数目配上九个颜色称为九星的占卜术。但是将方阵与神秘象征相结合而系统化的解释应该从15世纪的著名星象学家阿克利巴（Connelias Agrippa，德国人，公元1486～1535年）谈起，他首先将具
有魔力的方阵和太阳、月亮、五大行星巧妙配合，运用在占星术(astrology)上。
占星术是根据一个人出生时，黄道上十二星座的位置和七个星（太阳、月亮、五大行星）位置的关系以决定一个人一生中命运的命相术。星相家们大体上认
为太阳、月亮、木星、金星带给人幸运，而土星、火星会招至不幸。
图7：阿克利巴将七星与方阵及金属结合成各种护身符
阿克利巴为表示这七星的神秘力量，特别将它配上3～9方阵，如三方阵配土星；四方阵配木星；五方阵配火星；六方阵配太阳；七方阵配金星；八方阵配水星；九方阵配月亮。这七星、方阵再配合各种金属制成的牌子（如图8），便是一个护身符了。图9即是古代金属制成的一种护身符，这是用黄金打造的狮子座和太阳的结合，六方阵是太阳的象征。
图8.：古代黄金打造的护身符，狮子座和太阳的结合，六方阵是太阳的象征。
b. 丢勒著名的铜版画──忧郁Ｉ
西方最有名的方阵出现在文艺复兴时期德国杰出的大画家丢勒（Albrecht Dürer，德国人，公元1471～1528年）（图9）以“忧郁Ⅰ”（图10）（Melencolia I）为题的铜版画上。这是公元1514年的作品，也是丢勒的三大版画之一。
图9：丢勒（Albrecht Dürer，德国，1471～1528年）丢勒是文艺复兴时期德国杰出画家、版画家、雕塑家、建筑家，出生于德国纽伦堡，到过威尼斯接受艺术熏陶，同时受德国宗教改革的影响摆脱哥德式艺术的束缚，走向以人文主义世界观的写实主义道路。他刻苦探索新的美学原理，在透视画法和艺用人体解剖方面有重大成就，创作出许多反映社会现实的作品，如油画〈四使徒〉，木刻版画〈启示录〉等。
从图10，我们可以看出整幅画的结构和布局。图的右侧有一个有翅膀的女孩子正在坐
着沈思，她的右手拿着圆规，膝盖上放着一本书，头上载着树叶扎成的冠，女孩子的
右侧有一个长有翅膀的小男孩坐在一块磨石上，正在写东西。女孩子的前方蹲着一只
狗，狗的两侧放有球体、十二面体，四周散放着一些工具，包括刨子、锯子、尺、
钉、起子、槌以及一个炼金用的坩埚；图的右上方有一栋建筑物，该建筑物旁边左边
靠着一座楼梯，墙上挂着钟、天平、沙漏与四方阵。图的左上方是描绘远景，在平静
水面的远方，一颗星星正发出慑人的光芒，艳丽的彩虹横跨天际，彩虹下，一只蝙蝠
正展翅飞着，而翅膀上写着“MELENCOLIA Ⅰ”的字，它正是整幅画的主题。
图10：丢勒在1514年的铜版画作品“忧郁Ⅰ”（Melencolia Ｉ）
为什么叫“忧郁Ⅰ”呢？
图11：希波克拉底斯与他的四性论
在如此复杂的画面上，丢勒所要表明的究竟是什么？壁上那幅四方阵又代表什么呢？主题为什么叫“忧郁Ⅰ”呢？
探讨这几个疑问之前，我们首先必须了解“四性论”。所谓四性论乃源于古希腊名医，后世称为医学之父的希波克拉底斯（Hippocrates of cos，希腊人，公元前460～375）的医学说（图11）。他说人体内有黄胆汁、黑胆汁、粘液、血液四种液体，某种液体在人体内部较多，便可左右这个人的个性。黄胆汁多的人称为胆汁质，黑胆汁多的人是忧郁质，血液多的人是多血质，粘液多的人则是粘液质，它们的特性如下：
胆汁质：个性像烈火、容易动怒，虽有积极态度，充沛体力和
应付局面的才干，但缺少沉着冷静的能耐，又善于独
来独往，颇有超脱世俗的倾向，自尊心强、易于自夸。
忧郁质：感情细腻且敏感，很顽固、重实际、有耐性、意志坚
定，喜欢追求财富，且富组织能力和发明才能，名利
心很强，也很吝啬。
多血质：情绪不稳定，多情且博爱，喜好冥思，默想，虽有宽
容他人的气量，但容易迁怒，缺少沉着冷静的态度，
喜欢科学、研究、精神修养等工作，也偏爱美术、工
艺、音乐等，对新知识、新学说极为好奇。
粘液质：稳重、冷静，但不够积极，有时会有些畏缩，很难和
人相处，很任性，但很聪明，做事慎重，容易往坏的
方向推测他人，好奇心也很强。
在丢勒所处的时代，有智慧、富创意的人被认为属于忧郁质的人，这可从汉密顿(John Milton，英国诗人，1608-1674)和莎士比亚(William Shakespeare，1564-1616)的诗中得到证明。现在若以希波克拉底斯的四性论及阿克利巴的神秘星相思想的观点来剖析这幅画，便可发现这幅画的含意。画中的女孩子是智慧的象征，她右手拿着圆规，显示热衷于测量、建筑有关的思考，周遭的东西例如圆球体、十二面体、刨子、锯子、尺、天平等也都和测量、建筑有关。由此可知，这幅画就是要表现「忧郁质」的「创造与思考」。「忧郁」可分为三个阶段，这幅以“忧郁Ｉ”为名的铜版画即代表忧质的第一阶段。那么四方阵又有何意义呢？因为要不断的思考与创造，必需提高忧郁的黑胆汁分泌，为了促进这种趋势，必须藉助木星的力量，而四方阵正是木星的象征，这也就是画四方阵的目的，还有女孩子头上戴的冠也有这个功能。至于远景的星光有人认为是木星，但也有人认为是慧星或是黎明前明亮的晨星。整幅铜版画的含意大致如此，但还有一点必需说明的，那就是挂在壁上的方阵中，丢勒悄悄把制作的日期写在方阵最后一行的中间两格，即最后一行中颜色较深的15、14 两字，它表示该版画的制作年代是公元1514年。又由于丢勒的母亲亦在这年逝世，因此有人说：丢勒这幅画也是为纪念他的母亲而作。
(2)目前：数学游戏
a.方阵的制作与其特性
方阵之所以吸引人，在于它制作的复杂性及其一些有趣的特性。就制作方阵的方法来说，制成奇数阶方阵的方法较为简单，但是建立偶数阶方阵的方法都非常的复杂。奇数阶方阵的制作方法最著名的有十四世纪的默斯哥布鲁斯（Manuel Mo Moschopulus）的作法。但较容易的制作方法还是法国人巴谢（Claude Gaspar Bachet，法国人，公元1581～1658年）在他的＜数字游戏问题集＞所发表的“巴谢法”。
巴谢法的制作方法如下：
首先须画好方阵及其外围的格子（如图12），然后从顶点开始向右以阶梯方向顺序填入1,2,3,……，如此将图12填满1～n2的数。譬如五阶方阵，可填1～25个数字于图12中，但图12中仍有某些空格没有填满，这时再将方阵外围的数字依「上置下，下置上」、「左置右，右置左」的规定填满图12中央部分方阵内部的空格，例如1放在18和14之间，25放在12和8之间，5放在17和13之间，21放在13和9之间，……，便可完成如图13的五方阵。只要是奇数方阵都可以利用这种方法制作。
图12：利用巴谢方法开始绘制奇数方阵。
图13：利用巴谢方法完成绘制奇数方阵。
方阵除了制作方法极富趣味性外，它的一些特性也很有趣。譬如四方阵的型式有好几百种，前面所谈到的丢勒四方阵只是其中的一种。但四方阵中有一种特性很奇妙，称为「完全四方阵」。首先我们先谈一般的四方阵特性，如图14-a，将图中的纵行、横行及对角线的四个数字加起来其和是34；中央的四个数字加起来是34；把四个顶角的数加起来也是34；将上下或左右两侧中间两行的两个数相加起来，仍然是34。不论是那一种四方阵，都具备这种巧妙的特性。但是「完全四方阵」则更为神奇了，它除了有上述一般四方阵的特性外，更具特色，以图14-b为例，它有：
‧任何相连的四个数字的小方阵其和都是34，例如：
8＋10＋11＋5＝34，14＋11＋7＋2＝34。
‧八个数字8,10,4,9,3,13,7,14所连成的八边形，其任一边与其对边所构成的四个数字和也是34。例如：14,8与9,3；8,10与13,3。
图14-a :一般四方阵的一个例子 图14-b：完全四方阵
图14：一般四方阵及完全四方阵
此外，把完全四方阵最上面的一排数字移到下面，或将右边一行数字移到左侧，方阵仍然是完全四方阵成立。也就是，一个完全四方阵可产生16个不同的完全四方阵，其变化的奥妙，真令人拍案叫绝。故完全方阵也称为「超魔方阵」，四方阵共有880种，其中完全方阵有48个。
b.方阵的有趣游戏
(a)游戏规则：
下面是利用方阵的特性所把玩的一种有趣的游戏，它刊登于马丁‧加德纳所著作的书中，名叫做「十五点游戏」，游戏规则如下（图15-1～15-6）：
‧制作1到9的格子
图15-1：作1到9的格子
‧A与B开始玩游戏，谁先选到三个数字加起来15，就赢。
‧例如A先在方格上选7，B不能再选同样的数字了。
图15-2：A先选上7
‧接着B在方格上选8
图15-3：B接着选上8。
‧A再选2（A如果再选6，就得15，赢得此局）。
‧B破坏A的好主意，选上6（B只要再选上1就赢了）。
‧A也回敬B一下，选了1。
图15-4：A选2，B选6，A选1的局势
‧ B又选上4了，A发现B再选5就会赢了（因为4＋6＋5 ＝15）
‧A不得不选5挡B一下。
图15-5：B又选4，A选5。
‧ 但是B除了选5可得15外，另外也可选3，使3＋4＋8=15，赢得此局。因此B选3，赢了。
图15-6：B最后选3赢得此局
(b)赢的秘诀
洞悉如何在玩「十五点游戏」中赢的关键在于谁先看出它与三阶方阵有关联，为什么呢？要解说这问题之前，我们先写下所有加起来得15的三“个位数字”（0除外，且不得重复）。这种数组正好有8组，它们是：
1＋5＋9=15， 2＋6＋7=15， 1＋6＋8=15， 3＋4＋8=15， 2＋4＋9=15， 3＋5＋7=15， 2＋5＋8=15， 4＋5＋6=15
这八个式子正好组成一个三阶方阵（图16）。
三阶方阵的纵行、横行及对角线共有八条直线，每一条直线所组成的3个数字正好等于上面8个算式其中之一。A，B二人对睹的过程相当于在三阶方阵上画Ｏ和Ｘ一样，谁先将三阶方阵中一纵行、一横行或一条对角线画上三个Ｏ或Ｘ，谁就赢了。B暗地里藏了一张三阶方阵，只有他自己看得见，如此B就稳操胜算。现在我们拿图16-1至图16-6那局比赛来看吧！我们把A和B选择的次序一步步地换成了图18。如此，我们就很清楚看出三阶矩阵在「十五点游戏」所伴演的角色。
3.未来的发展：方阵在组合数学的应用
有时候一种数学理论，当它创造之初，人们并不完全了解它的用途，但当它被科学家引进时，人们才怳然大悟，原来它有如此巨大的功能，譬如八卦中的二进制制被莱布尼兹（G.W. Leibniz，公元1646～1716年）拿来应用在计算器的数目运算，非欧几何被爱因斯坦（A. Einstein）使用在宇宙之空间理论，群论被物理学家拿来作基本粒子理论工具……等等，都是发明之初料想不到的事。方阵在经过一段长时间被人们当作“神秘之护身符”或“数学游戏”把玩之后。今日人们也逐渐发现它亦蕴含着许多深刻的数学真理，并发现它能在组合分析、程序设计、对策论及人工智能等场合得到实际的应用。电子计算器的技术正快速蓬勃地进展，又给这个古老的题材注入了新鲜血液。在数学家们不断研究下，方阵带给人们异想不到的丰硕成果并非不可能的。