方陣漫談 江銘輝 五夢網
1. 中國縱橫圖與河圖及洛書的起因
河圖（圖1）與洛書（圖2）最先出自〈周易〉的“河出圖，洛出書，聖人則之”這句話，但〈周易〉並沒有進一步說明什麼是河圖？什麼是洛書？後人加以解釋為：河圖是一匹從黃河躍出的龍馬，背上披著一幅圖；洛書是一隻從洛水浮出的神龜，背上刻有九宮的“中國縱橫圖”。
何謂九宮？原來中國古時候，將“洞”稱為“宮”，九宮就是刻有九個空格的圖畫，這是河圖和洛書的起因。但是河圖和洛
書到底在表示什麼呢？這方面洛書是較容易了解的，因為它是開門見山的一個縱橫圖，不論直行、橫列或對角線，圖中三個數加起來的和都是15。至於河圖所表達的數字含意，就比較難一眼望出。其實中國古時候的人早就稱它為“天地生成數”，也就是古希臘畢達哥拉斯學派所謂的萬物皆為數的理念。在圖1的右圖中，有四個圓圈，其中第一圈（最內圈）中央部分為5；第二圈有二個5；第三圈為1, 2, 3, 4；第四圈的6,7, 8, 9，它分別為第一圈的5與第三圈的1, 2, 3, 4相加而成。有了1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9再加上第二圈的10（二個5相加），於是構成萬物的數字便產生了，因此稱為天地生成數。
2.河圖及洛書幫助大禹治理天下
圖3.：程大位(Cheng Dawei，中國人，西元1533～1606年)
中國明朝數學家，1592年完成〈算法統宗〉是當時最完備的應用算術書，出版不久就壓倒同類書籍，廣為流傳。
中國明朝大數學家程大位（Cheng Dawei，西元1533～1606年）（圖3），在他的大著〈算法統宗〉說：「河圖與洛書是大禹在治水時，上天派龍馬和神龜背河圖和洛書來幫忙。大禹在得到河圖與洛書之後才籌畫九種治理天下的大法。」估且不論河圖與洛書是不是大禹所創，以大禹的13年治理黃河水亂，古人認為其數學常識必超人一等，因此將河圖與洛書創作的傳說加附其身上是必然之事。
3.中國縱橫圖的演變
中國縱橫圖這個名詞，最先由楊輝創出。在數學上，把中國縱橫圖這類的圖案叫做“幻方”或“方陣”（magic square），洛書中有3行3列，所以叫3階方陣，這是世界上最古老的一種方陣。方陣的嚴格定義是：在一個n ×n的方形格子上，每個格子填有從1到n2的不同數字，不論是橫的，直的或是斜的，它們的總數都是一樣。如果n是3，那就稱三方陣；n是4則是四方陣，若n是5則是五方陣……。方陣的橫列、直行或斜線的總數，三方陣為15，四方陣是34，五方陣是65，六方陣是111。這些總數可用公式求得，若n方陣，其全部數字的總和就是1＋2＋3＋……＋n2=n2(n2+1)/2，因此每一列（行或斜線）的和便是n(n2+1)/2。除了傳統的方陣形式外，在全世界數學家的把玩之下，方陣也產生了許多有趣的變形。在中國歷史上，最先把幻方當作數學問題來研究的人，就是宋朝（Song Dynasty）的著名數學家楊輝（Yang Hwei，中國人，約西元1250年），他曾經比法國著名的數學家巴斯卡（B.Pascal，法國人，西元1623～1662年）更早提出巴斯卡三角形（圖4）。
楊輝他深入探索各類方陣的奧祕，得到許多製造方陣的簡單方法，記載在於1275年出版的〈續古摘奇算法〉書中，他並且還動手改變方陣的型式，圖5就是他發明的“攢九圖”，他使用1～33的整數構造成這個圖型，圖中每個大圓圈上的數目加起來都是138，每條直徑上的數字加其來也是138。在所有千奇百怪的變型方陣中，最有趣的應該是數1958年英國人維克斯(T. Vickers)所製的“六角方陣”（圖6），這奇妙的六角方陣得到無數方陣專家高度的讚賞，美國科普作家馬丁‧加德納(Martin Gardner，美國人，西元1914～)甚至認為是稀世之寶。
4.方陣的昨日、今日與未來的走向
(1)早期：神秘的象徵
a. 方陣在中國發明之後，傳到印度，再由賣卜人將方陣觀念傳到阿拉伯及歐洲，又經過演變成為一種魔力的象徵。在東方例如西藏的生命之輪的圖像，圖的中央是一個三階方陣，外面圍著十二宮圖的符咒，印度至今仍用方陣避邪，他們在使用的杯子或護身符上刻方陣，日本也有用方陣治病驅魔的例子，「算法闕疑鈔」一書開頭便記載用方陣治療瘧疾的方法，三方陣經計算後，在數字為6的地方札針，中國亦有將三方陣的九個數目配上九個顏色稱為九星的占卜術。但是將方陣與神秘象徵相結合而系統化的解釋應該從15世紀的著名星象學家阿克利巴（Connelias Agrippa，德國人，西元1486～1535年）談起，他首先將具
有魔力的方陣和太陽、月亮、五大行星巧妙配合，運用在占星術(astrology)上。
占星術是根據一個人出生時，黃道上十二星座的位置和七個星（太陽、月亮、五大行星）位置的關係以決定一個人一生中命運的命相術。星相家們大體上認
為太陽、月亮、木星、金星帶給人幸運，而土星、火星會招至不幸。
圖7：阿克利巴將七星與方陣及金屬結合成各種護身符
阿克利巴為表示這七星的神秘力量，特別將它配上3～9方陣，如三方陣配土星；四方陣配木星；五方陣配火星；六方陣配太陽；七方陣配金星；八方陣配水星；九方陣配月亮。這七星、方陣再配合各種金屬製成的牌子（如圖8），便是一個護身符了。圖9即是古代金屬製成的一種護身符，這是用黃金打造的獅子座和太陽的結合，六方陣是太陽的象徵。
圖8.：古代黃金打造的護身符，獅子座和太陽的結合，六方陣是太陽的象徵。
b. 丟勒著名的銅版畫──憂鬱Ｉ
西方最有名的方陣出現在文藝復興時期德國傑出的大畫家丟勒（Albrecht Dürer，德國人，西元1471～1528年）（圖9）以“憂鬱Ⅰ”（圖10）（Melencolia I）為題的銅版畫上。這是西元1514年的作品，也是丟勒的三大版畫之一。
圖9：丟勒（Albrecht Dürer，德國，1471～1528年）丟勒是文藝復興時期德國傑出畫家、版畫家、雕塑家、建築家，出生於德國紐倫堡，到過威尼斯接受藝術薰陶，同時受德國宗教改革的影響擺脫哥德式藝術的束縛，走向以人文主義世界觀的寫實主義道路。他刻苦探索新的美學原理，在透視畫法和藝用人體解剖方面有重大成就，創作出許多反映社會現實的作品，如油畫〈四使徒〉，木刻版畫〈啟示錄〉等。
從圖10，我們可以看出整幅畫的結構和佈局。圖的右側有一個有翅膀的
女孩子正在坐著沈思，她的右手拿著圓規，膝蓋上放著一本書，頭上載著
樹葉紮成的冠，女孩子的右側有一個長有翅膀的小男孩坐在一塊磨石上，
正在寫東西。女孩子的前方蹲著一隻狗，狗的兩側放有球體、十二面體，
四周散放著一些工具，包括刨子、鋸子、尺、釘、起子、槌以及一個煉金
用的坩堝；圖的右上方有一棟建築物，該建築物旁邊左邊靠著一座樓梯，
牆上掛著鐘、天平、沙漏與四方陣。圖的左上方是描繪遠景，在平靜水面
的遠方，一顆星星正發出懾人的光芒，艷麗的彩虹橫跨天際，彩虹下，一
隻蝙蝠正展翅飛著，而翅膀上寫著“MELENCOLIA Ⅰ”的字，它正是整
幅畫的主題。
圖10：丟勒在1514年的銅版畫作品“憂鬱Ⅰ”（Melencolia Ｉ）
為什麼叫“憂鬱Ⅰ”呢？
圖11：希波克拉底斯與他的四性論
在如此複雜的畫面上，丟勒所要表明的究竟是什麼？壁上那幅四方陣又代表什麼呢？主題為什麼叫“憂鬱Ⅰ”呢？
探討這幾個疑問之前，我們首先必須瞭解“四性論”。所謂四性論乃源於古希臘名醫，後世稱為醫學之父的希波克拉底斯（Hippocrates of cos，希臘人，西元前460～375）的醫學說（圖11）。他說人體內有黃膽汁、黑膽汁、粘液、血液四種液體，某種液體在人體內部較多，便可左右這個人的個性。黃膽汁多的人稱為膽汁質，黑膽汁多的人是憂鬱質，血液多的人是多血質，粘液多的人則是粘液質，它們的特性如下：
膽汁質：個性像烈火、容易動怒，雖有積極態度，充沛體力和
應付局面的才幹，但缺少沉著冷靜的能耐，又善於獨
來獨往，頗有超脫世俗的傾向，自尊心強、易於自誇。
憂鬱質：感情細膩且敏感，很頑固、重實際、有耐性、意志堅
定，喜歡追求財富，且富組織能力和發明才能，名利
心很強，也很吝嗇。
多血質：情緒不穩定，多情且博愛，喜好冥思，默想，雖有寬
容他人的氣量，但容易遷怒，缺少沉著冷靜的態度，
喜歡科學、研究、精神修養等工作，也偏愛美術、工
藝、音樂等，對新知識、新學說極為好奇。
粘液質：穩重、冷靜，但不夠積極，有時會有些畏縮，很難和
人相處，很任性，但很聰明，做事慎重，容易往壞的
方向推測他人，好奇心也很強。
在丟勒所處的時代，有智慧、富創意的人被認為屬於憂鬱質的人，這可從漢密頓(John Milton，英國詩人，1608-1674)和莎士比亞(William Shakespeare，1564-1616)的詩中得到證明。現在若以希波克拉底斯的四性論及阿克利巴的神秘星相思想的觀點來剖析這幅畫，便可發現這幅畫的含意。畫中的女孩子是智慧的象徵，她右手拿著圓規，顯示熱衷於測量、建築有關的思考，周遭的東西例如圓球體、十二面體、刨子、鋸子、尺、天平等也都和測量、建築有關。由此可知，這幅畫就是要表現「憂鬱質」的「創造與思考」。「憂鬱」可分為三個階段，這幅以“憂鬱Ｉ”為名的銅版畫即代表憂質的第一階段。那麼四方陣又有何意義呢？因為要不斷的思考與創造，必需提高憂鬱的黑膽汁分泌，為了促進這種趨勢，必須藉助木星的力量，而四方陣正是木星的象徵，這也就是畫四方陣的目的，還有女孩子頭上戴的冠也有這個功能。至於遠景的星光有人認為是木星，但也有人認為是慧星或是黎明前明亮的晨星。整幅銅版畫的含意大致如此，但還有一點必需說明的，那就是掛在壁上的方陣中，丟勒悄悄把製作的日期寫在方陣最後一行的中間兩格，即最後一行中顏色較深的15、14 兩字，它表示該版畫的製作年代是西元1514年。又由於丟勒的母親亦在這年逝世，因此有人說：丟勒這幅畫也是為紀念他的母親而作。
(2)目前：數學遊戲
a.方陣的製作與其特性
方陣之所以吸引人，在於它製作的複雜性及其一些有趣的特性。就製作方陣的方法來說，製成奇數階方陣的方法較為簡單，但是建立偶數階方陣的方法都非常的複雜。奇數階方陣的製作方法最著名的有十四世紀的默斯哥布魯斯（Manuel Mo Moschopulus）的作法。但較容易的製作方法還是法國人巴謝（Claude Gaspar Bachet，法國人，西元1581～1658年）在他的＜數字遊戲問題集＞所發表的“巴謝法”。
巴謝法的製作方法如下：
首先須畫好方陣及其外圍的格子（如圖12），然後從頂點開始向右以階梯方向順序填入1,2,3,……，如此將圖12填滿1～n2的數。譬如五階方陣，可填1～25個數字於圖12中，但圖12中仍有某些空格沒有填滿，這時再將方陣外圍的數字依「上置下，下置上」、「左置右，右置左」的規定填滿圖12中央部分方陣內部的空格，例如1放在18和14之間，25放在12和8之間，5放在17和13之間，21放在13和9之間，……，便可完成如圖13的五方陣。只要是奇數方陣都可以利用這種方法製作。
圖12：利用巴謝方法開始繪製奇數方陣。
圖13：利用巴謝方法完成繪製奇數方陣。
方陣除了製作方法極富趣味性外，它的一些特性也很有趣。譬如四方陣的型式有好幾百種，前面所談到的丟勒四方陣只是其中的一種。但四方陣中有一種特性很奇妙，稱為「完全四方陣」。首先我們先談一般的四方陣特性，如圖14-a，將圖中的縱行、橫行及對角線的四個數字加起來其和是34；中央的四個數字加起來是34；把四個頂角的數加起來也是34；將上下或左右兩側中間兩行的兩個數相加起來，仍然是34。不論是那一種四方陣，都具備這種巧妙的特性。但是「完全四方陣」則更為神奇了，它除了有上述一般四方陣的特性外，更具特色，以圖14-b為例，它有：
‧任何相連的四個數字的小方陣其和都是34，例如：
8＋10＋11＋5＝34，14＋11＋7＋2＝34。
‧八個數字8,10,4,9,3,13,7,14所連成的八邊形，其任一邊與其對邊所構成的四個數字和也是34。例如：14,8與9,3；8,10與13,3。
圖14-a :一般四方陣的一個例子 圖14-b：完全四方陣
圖14：一般四方陣及完全四方陣
此外，把完全四方陣最上面的一排數字移到下面，或將右邊一行數字移到左側，方陣仍然是完全四方陣成立。也就是，一個完全四方陣可產生16個不同的完全四方陣，其變化的奧妙，真令人拍案叫絕。故完全方陣也稱為「超魔方陣」，四方陣共有880種，其中完全方陣有48個。
b.方陣的有趣遊戲
(a)遊戲規則：
下面是利用方陣的特性所把玩的一種有趣的遊戲，它刊登於馬丁‧加德納所著作的書中，名叫做「十五點遊戲」，遊戲規則如下（圖15-1～15-6）：
‧製作1到9的格子
圖15-1：作1到9的格子
‧A與B開始玩遊戲，誰先選到三個數字加起來15，就贏。
‧例如A先在方格上選7，B不能再選同樣的數字了。
圖15-2：A先選上7
‧接著B在方格上選8
圖15-3：B接著選上8。
‧A再選2（A如果再選6，就得15，贏得此局）。
‧B破壞A的好主意，選上6（B只要再選上1就贏了）。
‧A也回敬B一下，選了1。
圖15-4：A選2，B選6，A選1的局勢
‧ B又選上4了，A發現B再選5就會贏了（因為4＋6＋5 ＝ 15）
‧A不得不選5擋B一下。
圖15-5：B又選4，A選5。
‧ 但是B除了選5可得15外，另外也可選3，使3＋4＋8=15，贏得此局。因此B選3，贏了。
圖15-6：B最後選3贏得此局
(b)贏的祕訣
洞悉如何在玩「十五點遊戲」中贏的關鍵在於誰先看出它與三階方陣有關聯，為什麼呢？要解說這問題之前，我們先寫下所有加起來得15的三“個位數字”（0除外，且不得重覆）。這種數組正好有8組，它們是：
1＋5＋9=15， 2＋6＋7=15， 1＋6＋8=15， 3＋4＋8=15， 2＋4＋9=15， 3＋5＋7=15， 2＋5＋8=15， 4＋5＋6=15
這八個式子正好組成一個三階方陣（圖16）。
三階方陣的縱行、橫行及對角線共有八條直線，每一條直線所組成的3個數字正好等於上面8個算式其中之一。A，B二人對睹的過程相當於在三階方陣上畫Ｏ和Ｘ一樣，誰先將三階方陣中一縱行、一橫行或一條對角線畫上三個Ｏ或Ｘ，誰就贏了。B暗地裡藏了一張三階方陣，只有他自己看得見，如此B就穩操勝算。現在我們拿圖16-1至圖16-6那局比賽來看吧！我們把A和B選擇的次序一步步地換成了圖18。如此，我們就很清楚看出三階矩陣在「十五點遊戲」所伴演的角色。
3.未來的發展：方陣在組合數學的應用
有時候一種數學理論，當它創造之初，人們並不完全瞭解它的用途，但當它被科學家引進時，人們才怳然大悟，原來它有如此巨大的功能，譬如八卦中的二進位制被萊布尼茲（G.W. Leibniz，西元1646～1716年）拿來應用在計算機的數目運算，非歐幾何被愛因斯坦（A. Einstein）使用在宇宙之空間理論，群論被物理學家拿來作基本粒子理論工具……等等，都是發明之初料想不到的事。方陣在經過一段長時間被人們當作“神祕之護身符”或“數學遊戲”把玩之後。今日人們也逐漸發現它亦蘊含著許多深刻的數學真理，並發現它能在組合分析、程序設計、對策論及人工智能等場合得到實際的應用。電子計算機的技術正快速蓬勃地進展，又給這個古老的題材注入了新鮮血液。在數學家們不斷研究下，方陣帶給人們異想不到的豐碩成果並非不可能的。