蒂朵与芝诺多罗斯〈等周长作图〉江銘輝 五夢網
图：芝诺多罗斯（Zenodorous，古希腊人，约公元前180年）
蒂朵问题
希腊、罗马神话有这么一个传说：
相传古代地中海东岸腓尼基人（Phoenician）的港都--泰尔（Tyre）城是迦太基（Carthage）城邦创建人蒂朵（Dido）女王的王宫所在地，一次她离开家园到北非的地中海沿岸旅游，准备购置那里的土地当行宫。于是和当地部落的酋长商议付给对方一笔订金以换取一张公牛皮能围住的土地。一张公牛皮到底能围住多少的土地呢？聪明的蒂朵女王想出一个巧妙的办法，她把一张公牛皮切成成千上万细长的牛皮条，再把这些细条结成一条很长的细牛皮条，利用这根牛皮条在海岸边围出了一大块意想不到的土地。这片土地是近似一个半圆形，其直径在海岸线上（海岸线可看成近似一直线，它不须用牛皮条来围），牛皮条的总长就是这个半圆的弧长。
上述的故事，叙述使用一定长度围成最大面积的方法。因此在数学上以一定长度（面积）的封闭曲线（曲面）为周界求其可能包围之最大面积（体积）之问题称为蒂朵问题。一般而言，蒂朵问题所要解决的诸要件甚为复杂，至今仍然尚未解决，其主要原因在于封闭曲线所包围之图形为一般任意者，而无法给予一正确之表示法。但假如对曲线包围之图形加以特殊规定，则其所能包围之最大面积之形状即不难求得。
图：蒂朵（Dido）迦太基（Carthage）城邦创建人
例如：一定周长之三角形中，以正三角形面积最大。
证明：
如图1，设s为三角形半周，即：s=x+y+z/2。则三角形面积A为：A=s(s-x)(s-y)(s-z)1/2；因此所欲解决是满足2s为定值，而使A为极大者。兹利用算术平均数及几何平均数之不等式，得：
[(s-x)(s-y)(s-z)1/3≦[(s-x)+(s-y)+(s-z)]/3 =[3s-(x+y+z)]/3=(3s-2s)/3=s/3；故得：(s-x)(s-y)(s-z)≦(s/3)3；由此得以下结果：
A=[s(s-x)(s-y)(s-z)]1/2≦[s(s/3)3] 1/2=(s4/33) 1/2= s2/3√3，并且等式若且唯若s-x = s-y =s- z时，才成立。亦即若且唯若x = y = z时成立。于是得一定周长之三角形中，以正三角形的面积最大。
图：1 三角形之蒂朵问题
例2：表面积一定之长方体体积中，以立方体为最小。
证明：如图2，设一长方体之三边为x、y、z，则其体积为V= xyz，表面积为A= 2xy + 2xz + 2yz。若此长方体之表面积A为一定值，则x、y、z应选取何值才能使长方体体积为极大值。此问题吾人可利用算术平均数及几何平均数之不等式，得：
(xy+yz+zx)/3≧[(xy)(yz)(zx)]1/3=(xyz)2/3…….（1）
其中等号若且为若xy = yz = zx时才成立，且此时必须x = y = z，然因 xy + yz + zx = A/2，故由式（1）得：A/6≧(xyz)2/3=V2/3或(A/6) 2/3≧V
是故，表面积为A之长方体体积小于或等于(A/6) 2/3，而此值若且为若x = y = z = (A/6) 1/2时成立。亦即，表面积一定之长方体体积中，以立方体为最小。
图2：立体之蒂多问题
芝诺多罗斯是希腊数学家，他虽没有著作被流传下来，但我们亦可从公元3世纪的数学家帕柏斯（Pappus）所写的有关他对检查并解决一些图形的等周长或等面积的著作概略知道他在数学上的成就。这些论述是有关他研究平面图形在一定周长下达到最大面积，或立体图形在一定面积下达到最大体积的问题。它总共有14条命题，重要的七条如下：
1. 周长相等的正多边形，边数越多的面积越大。
3. 圆面积比同样周长的正多边形的面积大。
7. 同底等周的三角形中，以等腰三角形面积最大。
10. 二同底等周的三角形面积之和，以二相似等腰三角形之面积和最大。
11. 周长相等的n多边形中，正n多边形面积最大。
13. 一个偶数正n多边形中，以其最长对角线为轴，旋转180°所得立体之体积比同表面积的球小。
14. 五个柏拉图正多面体中的每一个的体积小于等面积的球体。
芝诺多罗奥斯进一步以上述命题3、11为基础，得到定理：所有等周长的平面图形中，以圆的面积最大。在以命题14为基础上，他得到定理：表面积相等的所有立体中，以球的体积最大。这些定理在阿基米得（Archimedes）的著作中也曾经提及，但严格的证明一直到1884年才由施瓦兹（Carl Hermann Amandus Schwarz，德国人，1843年至1921年）（图3）用魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass德国人，1815年至1897年）方法证明。
图3：施瓦兹（H.A.Schwarz，德国人，1843-1924）。
他在复变函数、偏微分方程、变分学及初等几何方面均有重大贡献。补救黎曼（G.F.B. Riemann）关于映射定理证明的缺陷。自古以来，人们就知道在体积相同的立体之中，表面积最小是圆，直施瓦兹才给出严格证明。著名的有：施瓦兹不等式（Schwar inequality）
大部份有关最大值或最小值的问题细心的数学家或许很容易猜中，但亦有例外。譬如：1630年意大利著名的科学家—伽利略（G. Galilei）提出制作的最速降线（brachistochrone）问题：设A、B是不在铅直线上的两点，一质点在重力作用下以最短的时间自A点运动到B点，请问质点所通过的路径该是什么曲线？伽利略在1638年时得出错误的答案，他误认为是圆弧。到了1696年瑞士著名数学家约翰.伯努利（John Bernoulli，1667年-1784年）重新提出最速降线的问题向他的兄长雅各布.伯努利（Jacob Bernoulli）以及世界上所有数学名家挑战。由于问题困难度极高且具内涵和富有挑战性，因此引起当时数学家们极大兴趣。解出来的人，除了伯努利兄弟外，还有微积分发明人牛顿（I. Newton）、莱布尼兹（G. W. Leibniz）和名数学家洛必达（G.F.A. L’Hospital）等人，正确的答案原来是一条摆线（cycloid）的一段弧（如图3）。
图4：最速降线的问题。答案是摆线的一段弧。
据说英国皇家协会于收到约翰.伯努利挑战书后下午就交给了牛顿，第二天牛顿就带着解答来。他把解答不附签名地寄给约翰.伯努利，伯努利一看就知道是谁的杰作。并且对牛顿这种超高能力赞赏的说：「看到爪印就知道是只老虎的。」