蒂朵與芝諾多羅斯〈等周長作圖〉 江銘輝 五夢網
圖:芝諾多羅斯（Zenodorous，古希臘人，約西元前180年）
蒂朵問題
希臘、羅馬神話有這麼一個傳說：
相傳古代地中海東岸腓尼基人（Phoenician）的港都--泰爾（Tyre）城是迦太基（Carthage）城邦創建人蒂朵（Dido）女王的王宮所在地，一次她離開家園到北非的地中海沿岸旅遊，準備購置那裡的土地當行宮。於是和當地部落的酋長商議付給對方一筆訂金以換取一張公牛皮能圍住的土地。一張公牛皮到底能圍住多少的土地呢？聰明的蒂朵女王想出一個巧妙的辦法，她把一張公牛皮切成成千上萬細長的牛皮條，再把這些細條結成一條很長的細牛皮條，利用這根牛皮條在海岸邊圍出了一大塊意想不到的土地。這片土地是近似一個半圓形，其直徑在海岸線上（海岸線可看成近似一直線，它不須用牛皮條來圍），牛皮條的總長就是這個半圓的弧長。
上述的故事，敘述使用一定長度圍成最大面積的方法。因此在數學上以一定長度（面積）的封閉曲線（曲面）為周界求其可能包圍之最大面積（體積）之問題稱為蒂朵問題。一般而言，蒂朵問題所要解決的諸要件甚為複雜，至今仍然尚未解決，其主要原因在於封閉曲線所包圍之圖形為一般任意者，而無法給予一正確之表示法。但假如對曲線包圍之圖形加以特殊規定，則其所能包圍之最大面積之形狀即不難求得。
圖:蒂朵（Dido），迦太基（Carthage）創建人
例如：一定周長之三角形中，以正三角形面積最大。
證明：
如圖1，設s為三角形半周，即：s=x+y+z/2。則三角形面積A為：A=s(s-x)(s-y)(s-z)1/2；因此所欲解決是滿足2s為定值，而使A為極大者。茲利用算術平均數及幾何平均數之不等式，得：
[(s-x)(s-y)(s-z)1/3≦[(s-x)+(s-y)+(s-z)]/3 =[3s-(x+y+z)]/3=(3s-2s)/3=s/3；故得： (s-x)(s-y)(s-z)≦(s/3)3；由此得以下結果：
A=[s(s-x)(s-y)(s-z)]1/2≦[s(s/3)3] 1/2=(s4/33) 1/2= s2/3√3，並且等式若且唯若s-x = s-y =s- z時，才成立。亦即若且唯若x = y = z時成立。於是得一定周長之三角形中，以正三角形的面積最大。
圖1： 三角形之蒂朵問題
例2：表面积一定之长方体体积中，以立方体为最小。
证明：如图2，设一长方体之三边为x、y、z，则其体积为V= xyz，表面积为A= 2xy + 2xz + 2yz。若此长方体之表面积A为一定值，则x、y、z应选取何值才能使长方体体积为极大值。此问题吾人可利用算术平均数及几何平均数之不等式，得：
(xy+yz+zx)/3≧[(xy)(yz)(zx)]1/3=(xyz)2/3…….（1）
其中等号若且为若xy = yz = zx时才成立，且此时必须x = y = z，然因 xy + yz + zx = A/2，故由式（1）得：A/6≧(xyz)2/3=V2/3或(A/6) 2/3≧V
是故，表面积为A之长方体体积小于或等于(A/6) 2/3，而此值若且为若x = y = z = (A/6) 1/2时成立。亦即，表面积一定之长方体体积中，以立方体为最小。
圖2：立體之蒂多問題
芝諾多羅斯是希臘數學家，他雖沒有著作被流傳下來，但我們亦可從西元3世紀的數學家帕柏斯（Pappus）所寫的有關他對檢查並解決一些圖形的等周長或等面積的著作概略知道他在數學上的成就。這些論述是有關他研究平面圖形在一定周長下達到最大面積，或立體圖形在一定面積下達到最大體積的問題。它總共有14條命題，重要的七條如下：
1. 周長相等的正多邊形，邊數越多的面積越大。
3. 圓面積比同樣周長的正多邊形的面積大。
7. 同底等周的三角形中，以等腰三角形面積最大。
10. 二同底等周的三角形面積之和，以二相似等腰三角形之面積和最大。
11. 周長相等的n多邊形中，正n多邊形面積最大。
13. 一個偶數正n多邊形中，以其最長對角線為軸，旋轉180°所得立體之體積比同表面積的球小。
14. 五個柏拉圖正多面體中的每一個的體積小於等面積的球體。
芝諾多羅奧斯進一步以上述命題3、11為基礎，得到定理：所有等周長的平面圖形中，以圓的面積最大。在以命題14為基礎上，他得到定理：表面積相等的所有立體中，以球的體積最大。這些定理在阿基米德（Archimedes）的著作中也曾經提及，但嚴格的證明一直到1884年才由施瓦茲（Carl Hermann Amandus Schwarz，德國人，1843年至1921年）（圖3）用魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass德國人，1815年至1897年）方法證明。
圖3：施瓦茲（H.A.Schwarz，德國人，1843-1924）。他在複變函數、偏微分方程、變分學及初等幾何方面均有重大貢獻。補救黎曼（G.F.B. Riemann）關於映射 定理證明的缺陷。自古以來，人們就知道在體積相同的立體之中 ，表面積最小是圓，直到施瓦茲才給出嚴格證明。著名的有：施瓦茲不等式（Schwar inequality）
大部份有關最大值或最小值的問題細心的數學家或許很容易猜中，但亦有例外。譬如：1630年義大利著名的科學家—伽利略（G. Galilei）提出製作的最速降線（brachistochrone）問題：設A、B是不在鉛直線上的兩點，一質點在重力作用下以最短的時間自A點運動到B點，請問質點所通過的路徑該是什麼曲線？伽利略在1638年時得出錯誤的答案，他誤認為是圓弧。到了1696年瑞士著名數學家約翰.伯努利（John Bernoulli，1667年-1784年）重新提出最速降線的問題向他的兄長雅各.伯努利（Jacob Bernoulli）以及世界上所有數學名家挑戰。由於問題困難度極高且具內涵和富有挑戰性，因此引起當時數學家們極大興趣。解出來的人，除了伯努利兄弟外，還有微積分發明人牛頓（I. Newton）、萊布尼茲（G. W. Leibniz）和名數學家洛必達（G.F.A. L’Hospital）等人，正確的答案原來是一條擺線（cycloid）的一段弧（如圖3）。
圖4：最速降線的問題。答案是擺線的一段弧。
據說英國皇家協會於收到約翰.伯努利挑戰書後下午就交給了牛頓，第二天牛頓就帶著解答來。他把解答不附簽名地寄給約翰.伯努利，伯努利一看就知道是誰的傑作。並且對牛頓這種超高能力贊賞的說：「看到爪印就知道是隻老虎的。」