孙膑〈对策论〉 江铭辉五梦网
图：孙膑（Sun Bin，中国人，约公元前377～302年）
孙膑是战国中期的齐国人（图1），据说是孙武的后代，从小苦练兵法，掌握了丰富的军事知识，与当时魏国大将庞涓同拜鬼谷子为师。庞涓知道自己的才能不及孙膑，一方面想利用孙膑替他服务，另一方面又非常嫉忌他，恐怕他日后争夺自己在魏国的地位。于是便暗地派人把孙膑骗来。等到孙膑来后，庞涓假借罪名，把孙膑监禁起来，挖掉他的膝盖骨，刑断他的双足，并在他的脸上刺字，
使孙膑行动不便也不能见人。孙膑本来不叫膑，因受膑刑（一种去掉膝盖骨的刑法）故叫孙膑。后来齐国使者来到魏国，孙膑说服了齐国使者把他偷渡到齐国，成了齐国大将田忌的上等宾客。他在担任齐国军师的期间，充分发挥他的军事长才。
图1：中国战国时期各国的地势图
例如：
1.围魏救赵
公元前353年，魏国围攻赵国都城邯郸（今中国河北省），赵求救于齐。齐王命田忌为将军，孙膑为军师率军解救。孙膑以魏国精锐部队在赵，内部空虚乃出兵疾攻魏国都城大梁（今中国河南开封），迫使魏军回国救该国都城，孙膑知庞涓回师救大梁时必经过桂陵，于是在桂陵设下埋伏。当时魏军经过长途拔涉，得不到任何休息，军队十分疲惫，而齐军以逸待劳，斗志高昂解。就军队数量庞涓仅带魏国精锐部队，而孙膑的埋伏是齐国的主力，因此在两军数量与士气悬殊下，在桂陵的魏军被歼灭了。如此解决了赵国的危机，历史上称它为「围魏救赵」。
2.添卒减灶，伏兵马陵
桂陵之战魏国虽然遭到重挫，但仍然实力强大，居于霸主的地位。公元前342年，魏又攻韩国的南梁（位于魏国都城大梁的南边），韩向齐求救，齐王再次令田忌、孙膑起兵攻魏。久攻不下，孙膑以逐渐减灶的计策，使魏国误以为齐国士兵不耐久战，相继逃亡。在一次打战中，孙膑诈败逃跑，魏将庞涓，错估以为齐军兵力不多，只带部分轻骑就快速追击齐军。孙膑估计某日黄昏魏军将追到马陵（今河北大名东南），马陵是一个险要地区，它位于金提河北岸，丘陵四起，沟壑纵横，地形复杂，草木丛生，马陵道又是一条顺金提河走向的深沟，十多公尺的沟底，两旁有3至4公尺崖壁，又有高大茂密的树林遮蔽，是伏兵的天然场所。于是孙膑在那里设下埋伏，刮去大树的皮，用刀在树干上写上“庞涓死于此树之下”。又部署齐军善射的弓箭手一万人埋在夹道两旁，孙膑估计庞涓行军速度，在黄昏时部队会到此地，于是又命令弓箭手，晚上看见火光就向火光处发射。庞涓果然在天黑时刻到达，他隐隐约约看见树干有字，便叫士卒点火看字。等候多时的齐军，一看见火光，便万箭俱发，魏军大乱，全军溃败，庞涓自刎而死，孙膑本人从此声名大噪，人人都知道他用兵如神。
马陵之战是齐、魏争夺霸主地位的关键一战。这一役，魏国大将庞涓自杀、太子申被俘，十万大军被歼，从此魏国失去号令诸侯的地位，确立齐威王霸主地位。孙膑此时应该宏图大展，受到封赏和重用，但是由于齐国内部冲突和斗争，宰相邹忌和将军田忌长期不和，邹忌制造田忌将造反的谣言，使田忌和孙膑在马陵之战以后，竟然被释去兵权，连齐国都城––临淄都回不了，两人因此投奔楚国。
3.对策论的先导者
图2：冯‧纽曼（Johann Von Neumann，匈牙利人，公元1903～1957年）第二次世界大战前，他主要从事操作数理论、量子理论、集合论的研究，后从事计算器改良工作，并于1945年起草〈离散变量自动电子计算器设计报告初稿〉，文中指出计算器由计算器、控制器、存储器、输入、输出5部分组成，并完成第一部现代通用自动数字计算器。此外他也创立了“对策论”这一现代数学的分支。
对策论（game theory）亦称博弈论，它是现代应用数学的一门独立的新兴科学，讨论关于“竞赛”的数学，主要是用数学方法来研究在竞争（包括战争、竞技、比赛、经营）中是否存在制胜对手的最优策略，并指示决策中人们应如何采取最佳行动。对策论最先是使用在棋类、桥牌等日常生活中的娱乐游戏。二次世界大战期间，它被广泛应用于军事上。但直到1944年，数学家冯‧纽曼（John Von Neumann，匈牙利人，公元1903～1957）（图2）和经济学家摩根斯坦（Oskar Morgenstern）合着的〈对策论与经济行为〉（Theory of Games and Economic Behavior）一书问世，它才真正成为一门独立的学科。今日有关经济学、社会学和政治学经常使用它来作分析，此外，对策论与线性规划、管理科学、运筹学和军事计划等领域也都有密切关系。
对策论中最简单的是讨论“零和二人的对策”，但实际的生活中，却往往存在像“经济学”、“社会学”、“政治学”、“股票投资学”里所面临的“多人且非零和”的复杂情况。这种“多人非零和对策”的对策论的理论，虽已有长足进展，但还没有普遍性的公认理论。
现在我们要讨论的孙膑赛马赌胜的故事是“零和二人有限竞赛对策”。孙膑的这一个故事，见于〈史记‧孙子吴起列传〉，故事是：当时，齐国大将田忌常常与齐威王及齐国的王族赛马赌钱。田忌有上等、中等、下等三种马，齐威王也有上等、中等、下等三种马，而且每等都比田忌的好，田忌很难取胜。有一次田忌与齐威王要比赛马，前一天田忌把要比赛的事情告诉孙膑，孙膑来到赛马场上，对双方的马作了仔细的观察和分析，他发现田忌的上等马与齐王的上等马，中等马比齐王的中等马，下等马比齐王的下等马，体力都差不多，但稍微差些。回家后，孙膑想出一个对策。第二天孙膑对田忌说：「你尽管多下赌注吧！我保证你会得胜。」，田忌照孙膑的话，与齐威王下了每场千金的大赌注。比赛开始，齐威王先出上马，孙膑叫田忌出下马，首先输了一场，接着齐威王出中马，孙膑叫田忌出上马，赢了一场，最后齐威王出下马，田忌出中马，又赢了一场。比赛结果，田忌先输后赢，一负两胜，赢得齐王一千金。这个故事所蕴含的思想就是今日对策论所谓的：二人有限零和对策。首先，参加这个赛局的“局中人”有两方，一方是齐王，一方是田忌。所以称“二人对策”，其次齐王有三种马，田忌也有三种马，双方用这三种马来比赛，比赛的次数和策略的数目都是有限的，所以又称“有限对策”。最后，每场比赛赌注千金，输的一方要拿出千金，赢的一方得到千金，双方输赢之和恰等于零。因此又叫“零和对策”。
孙膑之所以能有这种对策论的思想萌芽，与他在军事学上的思维有很大关系。孙膑的〈孙膑兵法〉和春秋末期中国另一个杰出军事家孙武的〈孙子兵法〉同是历史上著名的兵法。后来〈孙膑兵法〉失传，引起很多争论。有的人认为两者是指同一本书，也有人认为根本没有〈孙膑兵法〉这部书。
公元1972年4月，在中国山东临沂银雀山同时发现这两部兵书，于是真相大白。从此部兵书的出土，我们可看到孙膑的军事思想以及孙膑如何将军事思维运用到他的田忌赛马的对策论上。兹说明如下:
一、“胜不可壹”的思想
双方在战争的态势千变万化下。要想战胜，就要运用各种策略才能取胜，所以固执于一种策略来应付敌方各种变化的策略是不会打胜战的。
孙膑帮田忌赛马取胜就是这个思想的具体运用。倘若田忌不变化策略，一成不变地用上马对上马，中马对中马，下马对下马的话，其结果必然是每赛必败。
二、“与之为取”的思想
齐国管仲最先提出了“与之为取”的思想，他说：「统治者要想取得人民的支持，首先必须给与人民一些物质利益，满足人民的一些要求。」孙膑他把这一原则运用到军事上。他提出“先败后胜”、“先与后取”、“先失后得”的策略。他说：在两军相当，皆坚而固的情况下，要想战胜敌人，第一步应该用少量兵力去进行试探性的攻击，直接侦察到敌人军力的强弱，第二步是用位阶不高的勇猛将领，去攻打敌人，若自己失败，当敌人获得小胜会马上骄傲起来，放松战备，最后再利用隐藏的精华部队攻击敌人最弱的部位，如此才能获得大胜。
再看孙膑帮助田忌赛马的过程，他所采用的，实际上也正是这种“与之为取”、“先败后胜”的策略。田忌的马每等都比齐威王的差，因此局部的输是不可避免的。要想一场也不输，用上、中、下三等马与齐王的三等马硬拼，必然大输。因此先策略性输一场，让齐王轻敌，再连胜两场。
三、“盈虚相当”的思想
“盈”和“虚”是中国古代兵法术语，“盈”指兵力雄厚“虚”指兵力薄弱。孙膑特别强调，当两军对阵时，一定要注意“毋以盈当盈，毋以虚当虚”，也就是千万不要以自己的主力和敌方的主力硬拼，以自己的弱点与敌方的弱点相对，而应该“盈虚相当”，避实击虚，用自己的主力去打击敌人的弱点，如此才能势如破竹，克敌制胜。
孙膑的“盈虚相当”的思想，帮助田忌赛马时获得了胜利。他用一局“以虚当盈”，两局“以盈当虚”使敌我双方发生根本的变化，最终取 得全局性的胜利。