为什么正多面体只有五种 江銘輝五夢網
正多面体是各面都为全等的正多角形，且在各顶点组成的正多角形都是全等的多面体。它只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体及正二十面体，统称为柏拉图正多面体，为什么正多面体只有五种呢？我们证明如下：
一、正四面体是正多面体中最简单者
图1：正四面体
如图1，正四面体是由一顶点P聚集三个全等的正三角形和一个底面为正三角形而成，而由于正三角形的一个内角为，所以顶点所成三面角的角度为
60。x3=180。<360。
加一个全等的正三角形，即成为正四面体。
故能在一个顶点P的周围聚集全等的三角形，构成一个正三面角，再添
二、正八面体与正十二面体的形成
综合上述所知，正多面体只有五种。
由正三角形所构成的正多面体，尚有多少种呢？
图2：正八面体与正十二面体
如图2之左图p点：
60。x4=240。<360。
故能在一个顶点P的周围聚集4个全等的正三角形构成一个正四面角，若从底面添加与此完全一样的形状，即构成正八面体。
再考虑：60。x5=300。<360。
故能在一个顶点P的周围聚集5个全等的正三角形构成一个正五面角，若在各顶点依次形成与此相同的正五面角，即得正二十面体。
其次，由于60。x6=360，60。x7=420。，60。x8=480。……
皆等于或大于360。，故不能在一个顶点P的周围聚集6, 7, 8 等全等的正三角形，构成一个正多面角，自然已不能形成正多面体。
根据以上叙述，各面为全等的正三角形的正多面体，仅限于正四面体，正八面体，正二十面体共三种。
三、正六面体
让我们再讨论由全等的正方形构成的正多边体有那些？
由正方形构成的正多边形，最简单的是正方体（如图3），它是在一个顶点P的周围聚集三个全等的正方形。由于它方形的一个内角为90。，而90。x3=270。<360。。
故能在一个顶点P的周围聚集3个全等的正方形。若从反侧添加与此完全相等的，即得一个正六面体即正方体。再考虑90。x4=360。，故不能在一个顶点P的周围聚集四个全等的正方形。
根据以上所述，各面为全等正方形所形成的正多边形，只有正六面体一种。
图3：正六面体
四、正十二面体
我们已讨论了，正三角形及正方形所形成的正多面体，现在我们讨论由正五边形是否也可构成正多面体。由于正五角形的一个内角为108。而108。x3=324。<360。。
故如图4，在一个顶点P的周围聚集3个全等的正五角形，构成一个正三角形。若在各顶点依次形成与此相同的正三面角，即得正十二面体。再考虑108。x4=432。>360。
故不能在一个顶点S的周围聚集4个全等的正五角形，构成一个正多面角。根据以上结果，各面为全等的正五角形的正多面体只有正十二面体这一种。
五、正六边形以上的图形无法构成正多面体
图4：正十二面体
除了上述由正三边形、正四边形、正五边形所构成之五种正多面体外，是否存在由正六边形、正七边形、正八边形……所形成的正多面体呢？
我们的答案是“没有”。理由是：在一个顶点P的周围聚集3个以上的正六边形，藉此形成正多面体。由些正六边形的一个内角为120。，而120。x3=360。
故不能在一个顶点P的周围聚集3个全等的正六边形构成一个正三面角。当然也不能聚集4个以上全等的正六边形构成一个正多面角。
因为一个正多边形的内角的大小是随着边数增加而增大，故不能在一个顶点P的周围聚集3个或3个以上的正七边形，正八边形……构成正多面边，所以正六边形以上的正多面体并不存在。