雪花曲线
图1：漂亮的雪花。它是怎么画成。
雪花曲线是一种奇妙的曲线，假设刚落在地面的雪花是正三角形。接着每隔一秒钟就在正三角形的每一边的中央三分之一处产生一个新的正三角形，如此继续下去，最初的三个阶段看起来是这样的（如图2）。
综合上述，雪花曲线产生过成中第0、1、2、3、……、i、……的边数依次为：
3、3×4、3×42、3×43、……、3×4I-1、……
因此我们可推论：
1.当雪花的边无限增加时，雪花周长也变成无限大。
由上面图形及边数我们可归纳，第i秒之周长为：3n + 3∙n/3+ 3∙4∙n/32+
3∙42∙n/33+……+ 3∙4i-1∙n/3i= 3n(4/3)i
；也就是说 当i→∞时，3n(4/3)i→∞。
2. 当雪花的边无限增加时，雪花周长虽然会变成无限大，但其面积为有限只有原来的8/5倍。
由上面图形我们可归纳，雪花的面积为：
A= A0 + (1/9) ×3 A0+ (1/9)2×3×4 A0+ (1/9)3 ×3×42A0+……(1/9)i ×3×4i-1A0+……
=1 A0+3/9〔1+(4/9)+(4/9)2+……(4/9)i-1+……〕 A0
= 1+( 3/9)×1/(1-4/9)= 1+3/5=8/5
第0秒 第1秒 第2秒
图2
再重复一次这个过程，这个曲线将选显得更美丽（如图3）。如此继续下去，雪花就愈来愈漂亮了（参考图1）。
图3：漂亮的雪花
按照这个方法不断执行下去，你愿意曲线有多长，它就有多长。虽然可划在一张A4纸上，但它的长度可以从地球到月球的距离阿！。
雪花曲线是美丽的「病态曲线」，之所以称为病态是它们奇异的特性，如果照上面的过程无限制继续划下去，其长度将是趋于无限大，但它却只能围成一块有限的区域，也就是说它的面积是有限的。现在我们来证明无穷雪花的曲线是无限长，而其所围的面积却是有限的。
1. 假设初始（第0秒）雪花（正三角形）每边长度是n，共3边，则雪花（S0）周长是3n，面积（A0）是n2，
2. 第1秒雪花（星形），雪花共有3×4边，边场长缩为原来的1/3，因此周长（S1）市是原来的4/3倍，即S1是S0+3n/3 = S0+ S0/3；面积（A1）增加1/3，即A0 +A0。
3. 第2秒雪花（雪花形），雪花共有3×42边，边长又缩为第1秒的1/3(即第0秒的1/32)于是周长S2变为S0+ S0/3+4 S0/32；面积（A2）是A0 +A0 + 3(A0/9)+ 4∙3(1/9)2 A0
第0秒钟 第1秒钟
第2秒钟
圖4：参考图2得上圖
综合上述，雪花曲线产生过成中第0、1、2、3、……、i、……的边数依次为：
3、3×4、3×42、3×43、……、3×4I-1、……
因此我们可推论：
1.当雪花的边无限增加时，雪花周长也变成无限大。
由上面图形及边数我们可归纳，第i秒之周长为：3n + 3∙n/3+ 3∙4∙n/32+
3∙42∙n/33+……+ 3∙4i-1∙n/3i= 3n(4/3)i
；也就是说 当i→∞时，3n(4/3)i→∞。
2. 当雪花的边无限增加时，雪花周长虽然会变成无限大，但其面积为有限只有原来的8/5倍。
由上面图形我们可归纳，雪花的面积为：
A= A0 + (1/9) ×3 A0+ (1/9)2×3×4 A0+ (1/9)3 ×3×42A0+……(1/9)i ×3×4i-1A0+……
=1 A0+3/9〔1+(4/9)+(4/9)2+……(4/9)i-1+……〕 A0
= 1+( 3/9)×1/(1-4/9)= 1+3/5=8/5