狗和主人的悖論
問題起源
這是一件家庭和樂的故事，一個小女孩聽到120公尺外父親回家的聲音，趕緊走出家門迎向父親，這時小狗瞬間衝出以每秒5公尺的速度在小女孩和父親之間來回跑，假定小女孩以每秒2公尺，且父親以每秒4公尺的速度互相迎面而來，請問當小女孩和父親碰面時，小狗跑多遠，又小狗的頭是向父親或小孩。
解答：
1. 簡易解答：
l 小狗的方向：小狗在小女孩和父親碰面時理論上小狗的頭不是向着小女孩就是向着父親，但我們實在無法推論小狗在小女孩和父親碰面時，頭是向小女孩或父親。
l 小狗跑多遠：我們從時間的方向來想，就很容易解決。
(1)小狗跑的時間是小女孩和父親碰面的時間，小女孩和父親碰面的時間是120公尺÷(2公尺/秒+4公尺/秒)=20秒
(2)小狗跑的距離是小狗跑的時間乘以小狗每秒跑的距離，即：
5公尺/秒 × 20秒 = 100公尺。
2. 正規解法，按部就班以無窮級數解法：
以無窮級數按部就班亦可解得，不過較繁複，解法如下：
假設剛開始時，小女孩和父親距離是S0，小狗從小女孩這邊跑出，父親以Vf的速度走路，小女孩以Vg的速度走路，小狗以Vd的速度來回奔跑，則第一次小狗碰見父親時，共跑S1距離。
(1)S1= 小狗每秒跑的速度乘以小狗跑的時間= Vd×S0/(Vd+Vf)
= S0/1+(Vf/Vd)
(2)當小狗碰見父親時，小女孩也走了Vg ×S0/(Vd +Vf)的距離，這時小狗與小女孩的距離為：小狗跑的距離減去小女孩走的距離，即： Vd ×S0/(Vd +Vf)－Vg ×S0/(Vd +Vf) = S0 (Vd －Vg)/ (Vd +Vf)= S0 (1－Vg/ Vd)/ (1+Vf/ Vd)，設小狗從父親那裡跑回小女孩那裡，共走S2的距離，則：
S2= S0× ((1－Vg/ Vd)/ (1+Vf/ Vd)) ÷(Vg +Vd )×Vd=
S0× (1－Vg/ Vd)/ (1+Vf/ Vd) ×1/(1+ Vg/ Vd)= S0×(1－Vg/ Vd)/ (1+Vf/ Vd)∙ (1+ Vg/ Vd)
(3)同理
S3= S0× (1－Vg/ Vd)∙ (1－Vf Vd)/ (1+Vf/ Vd) ∙(1+Vg/ Vd)∙(1－Vf Vd)
= S0× (1－Vg/ Vd)∙ (1－Vf Vd)/ (1+Vf/ Vd)2 ∙(1+Vg/ Vd)
(4)S4= S0× (1－Vg/ Vd)∙ (1－Vf Vd)∙ (1－Vg/ Vd)/ (1+Vf/ Vd) ∙(1+Vg/ Vd)∙(1+Vf Vd)∙ (1+Vg/ Vd)= S0× (1－Vg/ Vd)2∙(1－Vf /Vd) / (1+Vf/ Vd)2 ∙(1+Vg/ Vd)2
(5)設小狗跑的距離為S，則：
S= S1+ S2 +S3 +S4+……
設r1= (1－Vg /Vd)/ (1+Vg/ Vd)；r2=(1－Vf/ Vd) / (1+Vf/ Vd)
則：
S= S1+ S2 +S3 +S4+……
= S0/(1+ Vf/ Vd) + S0×(1－Vg/ Vd)/ (1+Vf/ Vd)∙(1+ Vg/ Vd) + S0× (1－Vg/ Vd)∙(1－Vf Vd)/ (1+Vf/ Vd)2 ∙(1+Vg/ Vd)+ S0× (1－Vg/ Vd)2∙(1－Vf /Vd) / (1+Vf/ Vd)2 ∙(1+Vg/ Vd)2
= (S0/1+( Vf/ Vd)) (1+ r1+ r1 r2+ r12 r2+ r12r22+ r13r22+ r13r3……)
= (S0/1+( Vf/ Vd))( 1+ r1) (1+r1 r2+ r12r2+ r13r3……)
=(S0/1+( Vf/ Vd))∙( 1+ r1)(1/(1- r1 r2))
=(S0/1+( Vf/ Vd))(2/(1+ Vg/ Vd)∙1/(2∙(Vg/ Vd+Vf/ Vd))= S0∙Vd/ (Vg+Vf)
小狗只要在小女孩與父親之間任何地方開始奔跑，無論用簡易算法或無窮級數算法，最後小狗所跑的距離皆為S0∙Vd/ (Vg+Vf)。但無論用簡易算法或無窮級數算法我們都無法育預測小狗最後頭的方向指向小女孩或父親。