悖论

 悖论是指一种推理过程：它看上去是合理的，但结果却矛盾的。在悖论中，我们经常看到这样的论调：由它的真，可以推出它的假；由它的假，可推出它的真。 悖论的主要形式有下列三种。

一、似非而是

“似非而是”是一种论断看起来是错的，但实际上却是对的。 例1：若交换无穷级数各项的顺序，则该级数之和会改变，譬如：

(1)S=1-1+1-1+1-1+

  ‧S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+.......=0

• S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)......=1

(2)S=1-2+4-8+16-32+......

• S=(1-2)+(4-8)+(-16+32)+......=(-1)+(-4)+(-16)+......=-∞
  
• S=1+(-2+4)+(-8+16)+......=1+(2)+(8)+......=∞
• S=1-2+4-8+16-32+......=1-2(1-2+4-8+16-32......=1-2S

得：S=1/3

 
图1：将“A”字绕莫比乌斯带。

例2：若一个人将“A”字沿着莫比乌斯带（Mobius strip）面绕一圈回到原点，结果他发现“A”字走过莫比乌斯带的两面，且“A”字变成“∀”字，再从“∀”字变“A”字回到原点（图1）。

若将莫比乌斯带沿中线剪开，得到的是一个带子，不是两个带子（图2）。

图2：将莫比乌斯带沿中线剪开，得到的仍是一个带子。

例3：自然数的个数等于偶数的个数。 部分少于全体。对于有限集合来说是理所当然的。譬如1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10的个数比2, 4, 6, 8, 10个数大。但是全体的自然数1, 2, 3, 4, 5, 6,………n……，把它去掉奇数成为2, 4, 6,……n……的偶数集合。请问自然数的个数大？亦或偶数的个数大？1874年德国数学家康托尔（G. Cantor）利用配对原则把它们配对起来：

康托尔发现自然数集与偶数集之间可建立了一个一一对应方式。因此推论这两个集合包含同样的个数。用完全相同的方法，我们可以在自然数集与具有下列形式的数字集：10, 100, 1000, 10000, ………之间建立起一个一一对应。为此，只需把自然数n对应于数字10ⁿ，即可得n→10ⁿ。这样就建立起所要求的一一对应。用同样方法，我们可以在自然数集与自然数平方的集之间建立n→n²之对应。数学家们已知道自然数、整数、偶数、奇数及有理数，它们之间都可建立一一对应。他们也称这些数集是可数集合。除了可数集合外，有没有不可数的数集呢？康托尔证明了无理数集或实数集是不可数的。它们的数目远比自然数大很多。

二、似是而非

“似是而非”是一种论断看起来好像是对的，但实际上却错了。这往往是由于忽视了一些概念和论断的适用范围，超出其应用范围而冒然使用这些概念和论断，从而导出谬论。

例1：若将有限集的性质应用无限集就可得得出错误的结论。

譬如：假设：∞表示无穷大，将∞加5之后仍为∞，因此：

∞＋5＝∞ 若从两边减∞，即得：

5＝0 又把∞乘以2后仍为∞，因此， 2‧∞＝∞ 若两边除以∞，即得

2＝1

由于会发生如上述的错误现象，故绝对不要把∞当作有限数处理。

例2：错误的开平方

譬如：1-3=4-6

所以：1-3+9/4=4-6+9/4.........(1)

因为：a²-ab+b²/4= (a-b/2)²

故若设a＝1，b＝3

则：1-3+9/4= (1-3/2)²……………(2)

若设：a＝2，b＝3

则：4-6+9/4=(2-3/2)²………(3)

由(1)、(2)、(3)得：(1-3/2)²=(2-3/2)²

即：1-3/2＝2-3/2

所以1=2

为什么会有错误呢？ 我们的回答是，此问题计算至：

 (1-3/2)²=(2-3/2)²为止是正确，但是因而导出1-3/2＝2-3/2 ，并进而导出1＝2的部分就错了。

事实上，从a²=b²可以得a＝b或a＝－b 故在上列的计算中以为只能得a＝b就是错的地方，事实上，至 (1-3/2)²=(2-3/2)²为止是正确的，而接下去应该是1-3/2＝2-3/2或1-3/2＝-(2-3/2)。 又，因为1-3/2＝2-3/2不可能成立，故应变成1-3/2＝-(2-3/2)

例3：以零去除任何数。 譬如：任意非零的两数a，b，且a＝b；
若两边乘以a，则a²=ab；

若从两边减b²，则a²-b²=ab-b²； 把两边分解因式，即得：

(a+b)(a-b)=b(a-b)……………….(1)

两边除以a－b，得a＋b＝b

从两边减b，即得a＝0

因此，所有的数都等于零。会产生这种矛盾的原因，完全是(1)式用a－b＝0去除的原因。

例4：芝诺（Zeno）悖论：

公元前五世纪古希腊哲学家芝诺曾提出阿基利斯（Achilles）和乌龟赛跑的悖论。阿基利斯是古希腊一位善跑的战将。芝诺假设阿基利斯比乌龟跑得快十倍。乌龟先跑100公尺，阿基利斯再开始追它，如此阿基利斯却永远赶不上它。因为阿基利斯到达龟的起点时，乌龟已又在他前面10公尺，当他再跑10公尺时，乌龟又跑1公尺，他又往前跑1公尺时，乌龟又前进0.1公尺，如此类推，虽然阿基利斯逐渐接近乌龟，但芝诺说，乌龟总跑在阿基利斯的前面一点点，阿基利斯绝对赶不上乌龟。可是经验告诉我们，阿基利斯很快的超越过乌龟。

 三、一系列推理看起来好像自圆其说，可是却导致逻辑上自相矛盾

例1：说谎者悖论：

克利特（Crete）岛上的伊比孟德斯（Epimenides）说：「所有的克利特岛上的人都是说谎的人。」如果他说的是实话，那么克里特人都是说谎者，而伊比孟德斯是克利特人，他必然说了假话。如果他确实说谎，那么克里特人就不一定都是说慌者。因此出现逻辑上的矛盾，这个悖论是古希腊人在公元前六世纪提出的。

例2：理发师悖论：
著名理发师悖论是英国人罗素（B.A.W. Russel）提出的。一个理发师招牌上写着：我给城里一切不自己刮脸者刮脸，我也只给这些人刮脸。请问！谁给这位理发师刮脸呢﹖如果他自己刮脸，那他属于自己刮脸的那类人，按其规定他不能自己来刮。如果由别人给他刮脸，那他就属于不自己刮脸者，按其规定他要给不自己刮脸者刮脸，因此其他任何人不能给他刮脸。

例3：“这句话有八个字”（这句话有几个字？七个字？！显然与原句说有八个字不符，但说原句有八个字是对的，又与实际不符。）

例4：在墙壁上张贴布告“不准张贴”。

图3：刘易斯‧卡罗尔（Lewis carroll）

图4：艾丽斯正梦见国王，国王也同样梦见艾丽斯，只要艾丽斯一醒国王就马上消失，同样国王一醒艾丽斯也会消失。

例5：最有趣的是数学家兼作家刘易斯‧卡罗尔（Lewis carroll，英国人，1832～1898年）（图3）在〈爱丽斯镜中游记〉中，有一段艾丽斯梦见国王，国王也正在梦见艾丽斯的故事。根据刘易斯的写法，爱丽斯碰到了红色国王。国王睡着了，〈特威德勒弟〉告诉爱丽斯，国王正梦见她，她只是国王睡梦中的人，实际上并不存在的，只要国王醒来，艾丽斯就会消失了。实际上艾丽斯也在作梦梦见国王，因此只要艾丽斯一醒，国王也会消失（图4）。